Problema resuelto de un proceso isócoro e isóbaro
Considérense tres estados de equilibrio; A(3 bar, 1 L), B(1 bar, 3 L) y C(1 bar, 1 L), de cierto sistema hidrostático. Calcule el trabajo realizado por el sistema cuando pasa del estado A al B a través de cada una de las siguientes trayectorias del plano pV:
a) arco de circunferencia, con centro en C, que une A con B.
b) línea recta uniendo A con B.
c) Proceso isócoro (AC), seguido de un proceso isóbaro (CB).
Solución: En los tres apartados emplearemos la expresión integral del trabajo:
imponiendo los respectivos caminos de cada apartado:
a) Se trata de un camino de arco de circunferencia, en especial medio arco de una circunferencia tal y como podemos observar en el diagrama pV. El trabajo es el área sombreada.
Para calcular la relación entre la presión y el volumen siguiendo el arco de circunferencia utilizamos la expresión matemática de la circunferencia de radio R centrada en un punto de coordenadas (xc, yc):
Sustituimos las variables x e y por p y V, y además podemos comprobar que se trata de una circunferencia de R = 2. Consideraremos además que esta ecuación que describe la trayectoria pV de arco de circunferencia es además adimensional.
Despejando la presión p hasta describir un semiarco del primer cuadrante:
y sustituyendo en la integral:
El cálculo de esta integral requiere de utilizar bastantes herramientas de cálculo, por ello recurriendo a un libro de tablas de integrales podemos ver que las integrales del tipo:
y así realizar el cálculo. O bien recurrimos a Derive planteándole la integral:
b) La trayectoria la determinamos con la expresión de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Sustituyendo por nuestras variables x e y por nuestras variables p y V:
Integrando ahora:
c) Viendo la gráfica pV planteada, obviamente solo hay que calcular el trabajo en el proceso isóbaro (CB) y olvidarse de calcularlo en el isócoro (AC), ya que en el es evidente que no se produce trabajo.
a) arco de circunferencia, con centro en C, que une A con B.
b) línea recta uniendo A con B.
c) Proceso isócoro (AC), seguido de un proceso isóbaro (CB).
Solución: En los tres apartados emplearemos la expresión integral del trabajo:
imponiendo los respectivos caminos de cada apartado:
a) Se trata de un camino de arco de circunferencia, en especial medio arco de una circunferencia tal y como podemos observar en el diagrama pV. El trabajo es el área sombreada.
Para calcular la relación entre la presión y el volumen siguiendo el arco de circunferencia utilizamos la expresión matemática de la circunferencia de radio R centrada en un punto de coordenadas (xc, yc):
Sustituimos las variables x e y por p y V, y además podemos comprobar que se trata de una circunferencia de R = 2. Consideraremos además que esta ecuación que describe la trayectoria pV de arco de circunferencia es además adimensional.
Despejando la presión p hasta describir un semiarco del primer cuadrante:
y sustituyendo en la integral:
El cálculo de esta integral requiere de utilizar bastantes herramientas de cálculo, por ello recurriendo a un libro de tablas de integrales podemos ver que las integrales del tipo:
y así realizar el cálculo. O bien recurrimos a Derive planteándole la integral:
b) La trayectoria la determinamos con la expresión de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
Sustituyendo por nuestras variables x e y por nuestras variables p y V:
Integrando ahora:
c) Viendo la gráfica pV planteada, obviamente solo hay que calcular el trabajo en el proceso isóbaro (CB) y olvidarse de calcularlo en el isócoro (AC), ya que en el es evidente que no se produce trabajo.
