Problemas Resueltos de Sistemas automaticos
Criterios de Routh para establecer la estabilidad de un
sistema
Los criterios de Routh son un conjunto de
pruebas que pueden utilizarse para determinar la estabilidad de un sistema de
control. Los criterios deben su nombre al matemático inglés William Henry
Routh, que los publicó en su libro "Stability of non-linear dynamic
systems" (Estabilidad de sistemas dinámicos no lineales) en 1873. Estas
pruebas se han aplicado a los sistemas con retardo temporal con más de un
retardo, lo que se conoce como sistema de segundo orden. Estos sistemas se han
utilizado ampliamente en la ingeniería y las ciencias naturales porque tienen
varias propiedades útiles. Pueden describirse cuantitativamente mediante el
álgebra matricial y tienen soluciones especialmente sencillas cuando se
representan mediante el tipo especial de matriz llamado matriz inversa o matriz
adyacente. La prueba de Routh utiliza estas propiedades para comprobar la
estabilidad y otras propiedades cualitativas como la estabilidad exponencial.
¿Qué es el criterio de estabilidad de Routh?
La estabilidad de un sistema es un aspecto
crítico del diseño de sistemas de control, ya que la inestabilidad puede hacer
que el sistema produzca resultados erróneos. El criterio de estabilidad de
Routh determina si un sistema es estable comprobando si los polos del sistema
están dentro o fuera del círculo unitario. El círculo unitario es un círculo de
radio uno cuyo centro está en el origen. El criterio determina la ubicación de
los polos de un sistema examinando los valores propios del sistema. Un valor
propio es el valor asociado a la ecuación característica de cada sistema o a
las raíces características. Por lo tanto, el criterio de estabilidad de Routh puede
describirse como sigue: Si los valores propios del sistema son todos negativos,
el sistema es estable. En caso contrario, es inestable.
Supuestos para el criterio de Routh
El criterio de Routh se basa en las
siguientes suposiciones: El sistema analizado es un sistema de segundo orden
sobreamortiguado. El sistema tiene dos tiempos de retardo. El sistema tiene dos
sistemas. El sistema tiene dos polos. Todos los tiempos de retardo son
positivos. El sistema tiene una función de transferencia real. El sistema tiene
una ecuación característica real.
Prueba de Routh para determinar la inestabilidad del
sistema
La prueba de estabilidad del sistema de
Routh se basa en un examen de los valores propios de la ecuación característica
real del sistema. La ecuación característica real viene dada por la siguiente
expresión: Si los valores propios reales de la ecuación anterior satisfacen la
siguiente condición, el sistema es estable. En caso contrario, el sistema es
inestable. La estabilidad de un sistema también puede determinarse gráficamente
trazando las raíces de la ecuación característica real en función de los
tiempos de retardo. Las raíces aparecen como líneas verticales en el gráfico.
Las posiciones verticales de las líneas indican la estabilidad del sistema.
Determinación de la ubicación de los polos a partir de los
valores propios A-C
El siguiente paso es determinar la
ubicación de los polos del sistema a partir de los valores propios de A-C. Esto
se hace de la siguiente manera: El valor propio A de la matriz B-D es igual al
número de polos menos 1: El valor propio B de la matriz C-D es igual al número
de ceros más 1: El valor propio C de la matriz C-E es igual al número de ceros
menos 1: El valor propio D de la matriz C-E es igual al número de polos menos 1:
Determinación de la ecuación del movimiento a partir de
los valores propios de B-D
El siguiente paso es determinar la ecuación
de movimiento a partir de los valores propios de B-D. Esto se hace como sigue:
El valor propio B de la matriz C-D es igual al número de ceros más 1: El valor
propio C de la matriz C-E es igual al número de ceros menos 1: El valor propio
D de la matriz C-E es igual al número de polos menos 1:
Determinación del coeficiente de realimentación mediante
los valores propios C-D
El coeficiente de realimentación se puede
determinar a partir de la expresión siguiente, en la que sustituimos los
valores propios de C-D en la expresión anterior: El Coeficiente de
Retroalimentación está dado por la siguiente expresión: El Coeficiente de
Retroalimentación es siempre mayor o igual a cero. Es positivo si el sistema es
estable y negativo si el sistema es inestable.
Conclusión
La necesidad de los criterios de Routh para
establecer la estabilidad del sistema es clara, ya que incluso pequeños cambios
en los parámetros pueden hacer que los sistemas se vuelvan inestables. Los
criterios de Routh comprueban la estabilidad de un sistema analizando sus
valores propios reales, los polos y el coeficiente de realimentación. Los
criterios de Routh son una prueba fácil y precisa que puede aplicarse a una
amplia gama de sistemas.
