Ejercicios resueltos Electronica Digital

Los ejercicios de electrónica digital de este post se centran en el álgebra de Boole y en la representación y manipulación de sistemas digitales binarios. Se debe conocer y respetar el álgebra de Boole en sus bases y fundamentos, pero no mucho más allá.

Sin embargo, es muy importante y fácil (en electrónica digital cuanto más importante es un tema, más fácil es. Situación que desconcierta y enreda a más de uno) dominar cómo representar y manejar a un sistema digital binario: tablas de verdad, circuitos lógicos, etc.

Los métodos presentados a continuación deben ser aplicados con rigor, como corresponde a un álgebra, para poder resolver los ejercicios de electrónica digital.

Operadores básicos Y no básicos booleanos

Recordemos los operadores lógicos o booleanos.

OBTENER LA TABLA DE VERDAD DE CUALQUIER EXPRESIÓN BOOLEANA

Una tabla de verdad tiene dos partes: entrada (izquierda) y salida derecha. En la entrada, la tabla de verdad tiene 2ⁿ filas, siendo cada fila una combinación distinta de 1 y 0. Para obtener la salida, simplemente hay que sustituir cada variable de la expresión booleana por el bit de la fila en proceso. Seguidamente se evalúa la expresión, y se anota el resultado. El proceso es lento pero infalible. No merece la pena correr.

Por ejemplo, para obtener la tabla de verdad de

habría que plantear una tabla con 8 filas, de 000 allí. Para cada una de las filas habría que proceder como para 000:

Lo rápido que cada uno quiera ir es una cuestión libre, pero sólo habrá un resultado correcto, un solo resultado lógico.

DEMOSTRACIÓN DE UN TEOREMA BOOLEANO 

Al menos tenemos dos caminos para demostrar un teorema: el clásico método algebraico y el particular de la inducción perfecta.

Este último camino dice que si se comprueba la veracidad de un teorema para todos las posibles combinaciones de entrada, entonces el teorema es verdadero (sin entrar en cuestiones epistemológicas). O sea, que si se cumple para cada caso, se cumple en general. Este camino se puede usar en álgebra de Boole porque las variables tienen sólo dos valores posibles: 0 y 1, mientras que en nuestra álgebra no, porque cada variable puede tomar infinitos valores. Por ejemplo, demostrar para variables booleanas que A+B = B+A es muy fácil, sólo hay que plantear cuatro filas. Pero para números reales o enteros es imposible aplicar la inducción perfecta, ya que A y B pueden tomar infinitos valores, de -infinito a +infinito.

OBTENER LA FORMA NORMAL DE UNA TABLA DE VERDAD

Primero hay que asignar un minitérmino y un maxitérmino a cada fila de la entrada de la tabla de verdad:

• Minitérmino: producto de variables cuyo valor es 1 para la fila en cuestión.
• Maxitérmino: suma de variables cuyo valor es 0 para la fila en cuestión.

Para obtener las formas normales se procede:

• Forma normal disyuntiva: sumar los minitérminos de aquellas filas de entrada con un 1 en la salida f.
• Forma normal conjuntiva: multiplicar los maxitérminos de aquellas filas de entrada con un 0 en la salida f.

En general se trabaja o con minitérminos y formas normales disyuntivas (suma de minitérminos) o con maxitérminos y formas normales conjuntivas (producto de maxitérminos).

Este planteamiento y método tienen un gran trasfondo teórico (teorema de Shannon), pero su aplicación práctica en los ejercicios es muy fácil.

OBTENER LA TABLA PE VERDAD DE UN CIRCUITO LÓGICO

La operación es tan lenta como sencilla: asignar a las variables los 0 y 1 de una fila de la tabla de verdad, y seguir el efecto de estos bits a través de las puertas hasta llegar a la salida.

Por ejemplo, la siguiente figura muestra la obtención de la salida del circuito para la entrada 000.

Si(000) = 0 y Ci(000) = 0

Visto cómo obtener una fila de la tabla, las demás son tan fáciles como lentas de obtener.

NEGAR UNA EXPRESIÓN BOOLEANA

Para negar una expresión booleana cualquiera basta con aplicar el teorema de De Morgan recursivamente:

1. La negación de una suma es el producto de las variables negadas.
2. La negación de un producto es la suma de las variables negadas.

NEGAR UNA SUMA DE PRODUCTOS (SOP) O UN PRODUCTO DE SUMAS (POS)

1. Una SOP negada se convierte en una POS con las variables negadas.
2. Una POS negada se convierte en una SOP con las variables negadas.

Implementación de una expresión booleana

Basta con sustituir cada operador lógico algebraico por su operador lógico gráfico: cambiar símbolos por gráficos.

Implementación de una suma de productos (SOP)

Aparecen dos niveles: el primero con tantas AND como productos parciales y el segundo con una sola OR para la suma global.

Implementación de un producto de sumas (POS)

Aparecen dos niveles: el primero con tantas OR como sumas parciales y el segundo con una sola AND para el producto global.

Implementación de funciones sólo con NAND o con NOR

Cualquier expresión booleana puede ser implementada sólo con NAND o con NOR.

Implementación de una SOP con NAND:

1. Negar cada sumando original.

2. Cambiar las sumas por productos.

3. Negar la expresión en conjunto.

4. Implementar en dos niveles con NAND.

Implementación de una POS con NOR:

1. Negar cada factor original.

2. Cambiar los productos por sumas.

3. Negar la expresión en conjunto.

4. Implementar en dos niveles con NOR.

Comentarios a los ejercicios:

Los siguientes ejercicios buscan fortalecer el álgebra de Boole del lector. Cuatro aspectos básicos son los tratados:

• Conocer las propiedades y teoremas básicos del álgebra de Boole.
• Saber representar sistemas binarios: tablas de verdad, formas normales, circuitos lógicos, etc.
• Atesorar y aplicar la inducción perfecta -tabla de verdad- siempre que tengamos duda en teoremas, técnicas, pasos de un método, etc. Con una simple comprobación sabremos si vamos por el camino del 1 lo correcto o por el camino del 0 lo incorrecto.
• Afirmar que el análisis es siempre aplicable, cualquiera que sea el circuito. Es probable que no analicemos las 16 ó 32 combinaciones de la tabla, pero sí algunas, las suficientes para cercioramos de que el ejercicio va bien. Si diseñar es importante, analizar no lo es menos: cocinar es diseñar, pero es que además todos mojamos un poco de pan, para probar y analizar.

PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTRÓNICA DIGITAL

Ejercicio  Electrónica 1. Obtener la columna de salida en la tabla de verdad de cada una de las siguientes funciones.

COMENTARIOS:

Por ejemplo para f3 y f6:

La técnica es sencilla, repetitiva y peligrosa por aburrida. Hay algunos atajos y una conclusión:

• Por ejemplo en f3 no hay que preocuparse por las cuatro primeras filas, han de dar 0, como A.

• Es importante recordar que multiplicar por 0, da 0, y que sumar 1 más algo, da 1.

• Muchos valores se obtienen con la vista, sustituyendo a ojo los valores.

• No importa el tamaño de la expresión; pueden ser incluso las más fáciles.

• Cada uno encontrará la forma de operar rápido, como al sumar o multiplicar a diario.

• El resultado ha de ser exacto en todos los casos de todas las funciones, sin excusas.

Ejercicio  Electrónica 2. Demostrar los teoremas principales utilizando el método de inducción perfecta. Es decir, completar las correspondientes columnas de la tabla de verdad y buscar cuáles son idénticas entre sí.

Este ejercicio, muy sencillo en lo teórico y en lo práctico, es muy interesante por lo que aporta al lector: dado un teorema siempre podrá decir si es correcto o no, sin más que obtener sus tablas de verdad, aunque no lo entienda o sitúe.

Ejercicio  Electrónica 3. Completar las columnas de maxitérminos y minitérminos y obtener las expresiones de las siguientes funciones booleanas como suma de minitérminos y como producto de maxitérminos. Utilizar también las formas compactas de sumatorio y factorial. Por último obtener los circuitos lógicos correspondientes a cada función, tanto para las sumas de minitérminos, como para los productos de maxitérminos.

Forma normal disyuntiva. Suma de minitérminos. Sumatorio.

Forma normal conjuntiva. Producto de maxitérminos. Factorial.

Ejercicio  Electrónica 4. Aplicar el teorema de De Morgan a las siguientes sumas de productos (SOP) y productos de sumas (POS).

COMENTARIOS:

• Este ejercicio tiene sobre todo interés teórico.

• Este ejercicio se completa aplicando con rigor el teorema de De Morgan: cambiar + por •, • por + y negar las variables, teniendo cuidado con los paréntesis.

• Si algún lector no creyera en las igualdades obtenidas, siempre puede obtener las tablas de verdad de las expresiones a derecha e izquierda de la igualdad, y luego comprobar que son idénticas (inducción perfecta).

Ejercicio  Electrónica 5. Aplicar el teorema de De Morgan a las siguientes expresiones booleanas.

Ejercicio  Electrónica 6. Rescribir y obtener los circuitos lógicos con puertas NAND de las siguientes sumas de productos.

COMENTARIOS:

• Este ejercicio tenía hace años un gran interés práctico, pero ahora casi no lo tiene. Las implemen- taciones con puertas van desapareciendo.

• Para completar este ejercicio basta aplicar de nuevo el teorema de De Morgan.

• Negar cada producto, cambiar + por • y negar el conjunto.

• El circuito lógico se obtiene sustituyendo cada operador lógico por la correspondiente puerta lógica.

Ejercicio  Electrónica 7. Rescribir y obtener los circuitos lógicos con puertas NOR de los siguientes productos de sumas.

Este ejercicio es el dual del anterior.

Ejercicio  Electrónica 8. Analizar los siguientes circuitos obteniendo las correspondientes tablas de verdad.

COMENTARIOS:

• Este ejercicio es tan lento y pesado como formativo, ayuda a comprender la realidad digital de un circuito lógico.

• Para obtener la tabla de verdad de un circuito lógico hay que ser muy paciente: dibujar en las entradas los valores 000, propagar su efecto a través de las puertas hasta llegar a la salida y apuntar su valor.

• Repetir el proceso anterior para cada fila de la tabla de verdad.

• Para analizar circuitos el programa Electronics WorkBench es inmejorable: cómodo y potente.

Ejercicio  Electrónica 9. Analizar el siguiente circuito obteniendo su tabla de verdad.

Si nos fijamos con detenimiento, resulta que la tabla se corresponde con un conversor de BCD puro a BCD XS3.

Ejercicio  Electrónica 10. Analizar el siguiente circuito obteniendo su tabla de verdad.

Si nos fijamos con detenimiento, resulta que la tabla se corresponde con un codificador sin prioridad 8:3.

Ejercicio  Electrónica 11. Analizar el siguiente circuito obteniendo su tabla de verdad.

Si nos fijamos con detenimiento, resulta que la tabla se corresponde con un decodificador 3:8.

Ejercicio Electrónica 12. Analizar el siguiente circuito obteniendo su tabla de verdad.

Si nos fijamos con detenimiento, resulta que la tabla se corresponde con un generador de paridad impar desde los ls.