Cremona y Ritter - Determinación de esfuerzos en las barras

A continuación vamos a comentar algunos métodos de calculo para conocer los esfuerzos en las barras de las estructuras trianguladas con nudos articulados, aunque los técnicos y profesionales del campo de las estructuras resistentes, conocedores de esos métodos, utilizan programas de calculo personales basados en el cálculo matricial o programas comerciales, que no sólo determinan los esfuerzos sino que determinan las secciones necesarias en el material que se trate, un ejemplo de estos programas muy utilizado es el CYPECAD.

Método de los nudos.

Resulta evidente que en una estructura en equilibrio estático, todos y cada uno de los elementos que la componen (barras y nudos) han de estar también en equilibrio. En este sentido, el método de los nudos consiste en analizar el equilibrio de los distintos nudos articulados de una viga triangulada. Este estudio del equilibrio de los nudos podrá realizarse de forma analítica o de forma gráfica, ello da lugar a la variante analítica y a la variante gráfica, más conocida como método de Cremona.

Método de los nudos. Variante analítica.

Dado un nudo determinado de una estructura triangulada, el método comienza con la realización de un esquema del nudo como "sólido libre". En dicho esquema se han de representar todas las fuerzas exteriores (acciones y reacciones) que se encuentren directamente aplicadas sobre el nudo en cuestión, así como las fuerzas interiores correspondientes a las distintas barras que concurren en el nudo. Dado que con las hipótesis básicas de cálculo todas las barras se encuentran sometidas a esfuerzo axial, se sustituirá cada barra de las que concurren en el nudo por una fuerza que tenga la misma dirección que la barra; por lo que respecta al sentido de estas fuerzas interiores, si la barra está sometida a compresión, la fuerza que ejerce la barra sobre el nudo irá dirigida contra el nudo y si la barra está sometida a tracción la fuerza que ejerce la barra sobre el nudo se alejará del nudo.

Una vez establecido el esquema del nudo en cuestión, se descomponen todas las fuerzas que actúan sobre él según dos ejes cartesianos previamente elegidos y, a continuación se aplican las ecuaciones de equilibrio estático. Dado que un nudo articulado no es capaz de transmitir momentos flectores, se dispondrá para cada nudo de dos ecuaciones:

Ello implica que en cada nudo se podrá resolver un máximo de dos incógnitas. Debido a esta limitación, habrá que ir analizando los nudos de la estructura en un orden tal que en el que se esté estudiando en cada momento sólo existan dos barras cuyo esfuerzo axial es desconocido.

En el análisis de los distintos nudos, las fuerzas incógnita (que se representa por vectores discontinuos) se supondrán siempre a tracción, es decir alejándose del nudo: Si posteriormente se obtiene para una fuerza dada un resultado positivo, significará que su sentido estaba bien supuesto y por tanto un esfuerzo positivo equivale a un esfuerzo de tracción. A la inversa un resultado negativo para una fuerza significará que su sentido estaba mal supuesto por lo cual el signo negativo equivale a un esfuerzo de compresión.

Método de Cremona.

El procedimiento debido a Cremona, es la aplicación de forma gráfica del método de los nudos. Consiste en considerar cada nudo aisladamente, o sea, separado de la estructura, y como las fuerzas exteriores (cargas y reacciones de apoyo) e interiores de las barras que sobre él actúan concurren en un punto, se pueden establecer por nudo dos ecuaciones de equilibrio. De manera que si operando sucesivamente, se consigue que en cada uno de los "k" nudos no existan más que dos barras con fuerzas desconocidas, el cálculo de la estructura se reduce a la resolución de "2k" ecuaciones en "k" grupos de ecuaciones independientes unos de otros y con dos incógnitas en cada grupo. La determinación de las dos incógnitas de cada grupo independiente de ecuaciones se realiza gráficamente de manera sencilla, puesto que las fuerzas exteriores e interiores constituyen polígonos cerrados de fuerzas.

Para empezar el cálculo con nudos en los que sólo existan dos incógnitas se precisa generalmente determinar las reacciones en los apoyos, operación que se efectúa planteando el equilibrio de toda la estructura considerada como sólido libre.

En la figura siguiente se representan por separado las fuerzas que actúan sobre cada nudo, y los correspondientes polígonos de fuerzas. Para saber si el esfuerzo en una barra es de tracción o de compresión, basta con examinar la dirección de las fuerzas en el polígono del nudo, y si la dirección de la fuerza se dirige al nudo, la fuerza es de compresión y si se separa de tracción.

En el nudo A se conoce y dibuja la reacción Ra que es vertical, como también se conocen las direcciones de las fuerzas de las barras "1 = AB" y "4 = AC", ya que son las direcciones de las barras, basta con trazarlas por los extremos de Ra para poder cerrar el polígono de fuerzas en el nudo y determinar las magnitudes de "Fl = Fab" y "F4 = Fac". Fl es de compresión ya que su sentido se dirige al nudo A, y F4 es de tracción ya que se aleja del mismo. Ha de tenerse en cuenta que como en este caso particular la barra "2 = BC" no trabaja, su fuerza es nula y por lo tanto "F2 = Fbc" no aparece en los polígonos de fuerzas a los que pertenece (Nudos B y C).

Como se deduce de la figura, cada fuerza de barra se repite en dos polígonos de fuerzas, los de sus nudos extremos, lo que teniendo en cuenta que se trata de una resolución gráfica lleva consigo mayores posibilidades de error. Para evitarlo, se dibuja cada polígono de fuerzas sobre el lado común del anterior, obteniéndose una sola figura para todos ellos llamada "polígono de Cremona".

El método gráfico o de Cremona consiste, pues, en dibujar sucesivamente polígonos cerrados de fuerzas para cada uno de los nudos, pero combinados de tal forma que cada fuerza actuante en una barra, por ser común a dos nudos, solamente se representa una vez.

Para el análisis de una estructura por el método de Cremona se procede de la manera siguiente:

1. Se dibuja la estructura con exactitud, indicando todas las cargas y reacciones, utilizando dos escalas una para la estructura y otra para las fuerzas. Se numeran todas las barras y se designan con letras los nudos.
2. Se dibuja el polígono de fuerzas exteriores y reacciones, de manera que se sucedan en el orden en que se presentan al girar alrededor de la estructura.
3. Se comienza por un nudo en el que concurran dos barras, determinándose los esfuerzos en éstas mediante un polígono de fuerzas, realizado de tal manera que éstas se sucedan girando alrededor del nudo, en el sentido de las agujas del reloj.
4. Se realiza esta operación para los restantes nudos, pero eligiendo estos en un orden tal, que únicamente existan en cada uno, al resolverlo, dos barras cuyas fuerzas se desconozcan.
5. El sentido de las fuerzas actuantes se representa en el esquema de la estructura pero no en el polígono de Cremona. Se dibujan mediante flechas en los extremos de la barra las fuerzas que la barra ejerce sobre sus nudos extremos, de forma que si las flechas van hacia el exterior de la barra, está sometida a compresión, y si van hacia el interior a tracción.
6. Se miden, en el polígono de Cremona, las fuerzas que corresponden a cada barra en la escala de fuerzas elegida, y sus valores y signos se pasan a una tabla.

Método de las secciones (método de Ritter)

Es un método que permite determinar el esfuerzo a que se encuentra sometida una barra sin necesidad de calcular los esfuerzos en las demás barras.

Consiste en esencia en dar un corte ideal a la estructura según una sección que intercepte únicamente tres barras. Una vez elegida la sección se "elimina" una de las dos partes en que ha quedado dividida la estructura y se sustituyen las barras seccionadas por el esfuerzo a que se encuentran sometidas. Estos esfuerzos representan el efecto que la parte eliminada de -la estructura ejerce sobre la parte conservada. De los esfuerzos de las tres barras cortadas tan sólo se conoce su dirección, que coincide con la de las barras ya que según las hipótesis básicas de cálculo están sometidas a esfuerzo axial. Por lo que respecta a su sentido, en principio se suponen a tracción determinándose finalmente la magnitud y sentido verdadero de las fuerzas mediante la aplicación de las tres ecuaciones de equilibrio estático a la parte conservada de la estructura.

En general el procedimiento más sencillo para determinar el esfuerzo en una barra consiste en tomar la ecuación de momentos con respecto al punto de intersección de las otras dos barras que se han visto afectadas por el corte, de esta manera se obtiene una ecuación con una sola incógnita: el esfuerzo en la barra elegida.